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數(shù)列——2022四川成考高起點(diǎn)數(shù)學(xué)(文)考點(diǎn)

文章來(lái)源: 四川成考網(wǎng) 發(fā)布時(shí)間: 2021-09-28 10:02作者: admin瀏覽量: 59

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       縱觀近幾年的成人高考,在解答題中,有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高,不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系,而且還與三角、立體幾何密切相關(guān);數(shù)列作為特殊的函數(shù),在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用,如增長(zhǎng)率,減薄率,銀行信貸,濃度匹配,養(yǎng)老保險(xiǎn),圓鋼堆壘等問(wèn)題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外,還要善于觀察題設(shè)的特征,聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,迅速確定解題的方向,以提高解數(shù)列題的速度.

  ●難點(diǎn)

  (★★★★★)已知二次函數(shù)y=f(x)在x= 處取得最小值- (t>0),f(1)=0.

  (1)求y=f(x)的表達(dá)式;

  (2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]為多項(xiàng)式,n∈N*),試用t表示an和bn;

  (3)設(shè)圓Cn的方程為(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列,記Sn為前n個(gè)圓的面積之和,求rn、Sn.

  ●案例

  [例1]從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬(wàn)元,以后每年投入將比上年減少 ,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元,由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加 .

  (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元,旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元,寫出an,bn的表達(dá)式;

  (2)至少經(jīng)過(guò)幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?

  命題意圖:本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,本題有很強(qiáng)的區(qū)分度,屬于應(yīng)用題型,正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型,屬★★★★★級(jí)題目.

  知識(shí)依托:本題以函數(shù)思想為指導(dǎo),以數(shù)列知識(shí)為工具,涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn).

  錯(cuò)解分析:(1)問(wèn)an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,易與“通項(xiàng)”混淆;(2)問(wèn)是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式,易出現(xiàn)偏差.

  技巧與方法:正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系,建立數(shù)量模型是本題的靈魂,(2)問(wèn)中指數(shù)不等式采用了換元法,是解不等式常用的技巧.

  解:(1)第1年投入為800萬(wàn)元,第2年投入為800×(1- )萬(wàn)元,…第n年投入為800×(1- )n-1萬(wàn)元,所以,n年內(nèi)的總投入為

  an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1

  =4000×[1-( )n]

  第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元,第2年旅游業(yè)收入為400×(1+ ),…,第n年旅游業(yè)收入400×(1+ )n-1萬(wàn)元.所以,n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

  bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.

  =1600×[( )n-1]

  (2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入,由此bn-an>0,即:

  1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得x< ,或x>1(舍去).即( )n< ,由此得n≥5.

  ∴至少經(jīng)過(guò)5年,旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.

  [例2]已知Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)設(shè)f(n)=S2n+1-Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍,使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立.

  命題意圖:本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問(wèn)題,需較強(qiáng)的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.

  知識(shí)依托:本題把函數(shù)、不等式恒成立等問(wèn)題組合在一起,構(gòu)思巧妙.

  錯(cuò)解分析:本題學(xué)生很容易求f(n)的和,但由于無(wú)法求和,故對(duì)不等式難以處理.

  技巧與方法:解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù),此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為:函數(shù)f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2.

  解:∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*)

  ∴f(n+1)>f(n)

  ∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)

  ∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然數(shù)n,不等式

  f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立

  只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2成立即可

  由 得m>1且m≠2

  此時(shí)設(shè)[logm(m-1)]2=t 則t>0

  于是 解得0

  由此得0<[logm(m-1)]2<1

  解得m> 且m≠2.

  ●方法

  1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問(wèn)題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),又要有良好的思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力;解答應(yīng)用性問(wèn)題,應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段,建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型,再綜合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.

  2.縱觀近幾年高考應(yīng)用題看,解決一個(gè)應(yīng)用題,重點(diǎn)過(guò)三關(guān):

  (1)事理關(guān):需要讀懂題意,明確問(wèn)題的實(shí)際背景,即需要一定的閱讀能力.

  (2)文理關(guān):需將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言,用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.

  (3)事理關(guān):在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中;要求考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力,認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,完成用實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后,要正確得到問(wèn)題的解,還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力.

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